Parque Caótico

Una charla de #HdCOnline

[Del 3 de octubre de 2020, pero nunca es tarde para compartirla.]

Michael Crichton publicó Parque Jurásico allá por noviembre de 1990. Por aquel entonces yo era una criaturita de 9 años a la que ya le fascinaban los dinosaurios, pero no fue hasta 1993 que la película llegó a nuestros cines. Y a mi corazón. El libro lo leí un poco después cuando ya era una adolescente enamorada de las matemáticas, así que caí rendida a los pies de Ian Malcolm y su Teoría del Caos.

Ahora, con unos cuantos años más, sigo amando las matemáticas, pero he descubierto que Ian Malcolm es un poco g*********, aunque, bueno, cuando no tiene las piernas de la Dra. Sattler delante, sigue siendo un tío inteligente. Por eso es uno de los invitados a este panel de expertos que he montado para vosotros:

¡Empecemos!

TEORÍA DEL CAOS

PATRICIA LIBERTAD

Ian, háblanos de la Teoría del Caos.

IAN

En su origen, la teoría del caos surgió de los intentos por hacer modelos meteorológicos computarizados, en la década de los años sesenta.

PATRICIA LIBERTAD

Creo que te refieres a Edward Lorentz que por ese entonces era meteorólogo en el MIT y estaba tratando de obtener soluciones numéricas a un sistema simplificado del estudio de la convección de la atmósfera. 

IAN

El clima es un sistema grande y complicado; específicamente la atmósfera de la Tierra cuando interactúa  con las masas continentales y el mar, y con el Sol. Así que, como es natural, no podemos predecir el tiempo.

PATRICIA LIBERTAD

Por eso Lorentz se encontró con un ordenador que le devolvía una lista de números sin sentido, sin patrón. Pensó que quizás había cometido algún error y repitió la ejecución… Varias veces. Pero el resultado siempre era igual de caótico. La más ínfima variación en las condiciones iniciales llevaba a resultados totalmente diferentes. ¿No es así, Lorentz?

EDWARD

Dos estados que difieran imperceptiblemente pueden evolucionar en dos estados considerablemente distintos. Si hay cualquier error en la observación del estado presente- y en un sistema real parece inevitable-, una predicción aceptable del estado en el futuro lejano bien puede ser diferente.

IAN

Si tengo un sistema meteorológico en el que empiezo con una cierta temperatura, y una cierta velocidad del viento y una cierta humedad, y después lo repito casi con las mismas temperatura, viento y humedad, el segundo sistema no se comportará casi igual: se desviará y rápidamente se volverá muy diferente del primero; tormentas en vez de sol. Eso es dinámica no lineal. Es sensible a las condiciones iniciales: diferencias diminutas resultan amplificadas.

PATRICIA LIBERTAD

Pero caos no significa aleatoriedad…

IAN

No, dentro de la compleja variedad de comportamiento de un sistema, realmente encontramos regularidades ocultas. Hay un orden subyacente caracterizado, en esencia, por el movimiento del sistema dentro del espacio de fases.

PATRICIA LIBERTAD

Ian, no te aceleres que vas a perder al público. El espacio de fases es una representación de la familia de curvas que son solución de una ecuación diferencial… Ahora soy yo la que va a perderLos. Pongamos tres variables: temperatura, velocidad del viento y humedad, como ha mencionado Ian. El estado de cada una de estas variables depende de su estado anterior, así que su evolución es determinista. Solo tengo que darle a estas variables unos valores iniciales e ir representado con un punto en el espacio el estado en cada instante de tiempo, de esta forma observaremos la trayectoria u órbita del sistema en lo que llamamos espacio de fases.

Tomemos como ejemplo el problema de Lorentz, cuando él representó la órbita de su sistema se encontró con una preciosa mariposa: el atractor de Lorentz

En la siguiente gráfica la he representado para vosotros con Python. Tenemos 3 variables: x, y y z. He marcado con una casita el estado inicial, abajo y centrado, y el estado final, arriba a la izquierda, con una mariposa.

¿Es este sistema predecible? 

En los ejemplos siguientes no voy a modificar las variables y y z. Solo la x. Pongamos que tengo un aparato de medida más preciso y le doy un decimal más: 1.2103.

Empieza igual, pero… ¿Dónde termina? Y parece que ha dado más vueltas en la derecha y menos en la izquierda…

Espera que cojo un aparato de medida más sensible y consigo otro decimal: 1.21035.

Ian, creo que empiezo a entender lo del orden subyacente… Pero voy a mejorar la medida: 1.210345.

En la siguiente tabla os dejo el valor de las coordenadas del estado final junto con las del estado inicial:

Acabamos de redescubrir el efecto mariposa: Pequeñas modificaciones en las condiciones iniciales producen grandes variaciones en el estado final.

Pero hay algo más, indudablemente hay un orden, todas las trayectorias se parecen a una mariposa, la mariposa de Lorentz. Esta mariposa es un atractor extraño. Atractor porque atrae las trayectorias hacia sí como si del anillo único se tratara. Y extraño porque no es un punto ni es periódico, es errático…

¿Qué pasa si barajamos las trayectorias? Puesto que las condiciones iniciales nunca van a ser precisas, no vamos  a poder distinguir unas trayectorias de otras.

Vemos que las condiciones iniciales son prácticamente las mismas por lo que las trayectorias se superponen al principio, pero luego siguen su propio camino para formar la mariposa. Pero, ¿cómo podemos distinguir unas de otras? ¿Cómo las separamos?

Típica maraña de hilos que aparecen en cajas de galletas.

Hemos visto que la evolución del sistema es determinista porque cada estado depende del anterior y a pesar de lo errático que parece, hay un orden. Sin embargo, hemos observado dos problemas, el sistema es sensible a las condiciones iniciales, el efecto mariposa, y las trayectorias se enredan como hilos en una caja de galletas, el efecto baraja. Así las cosas parece un poco difícil predecir nada en un futuro distante…

IAN

La linealidad es una manera artificial de ver el mundo. La vida real no es una serie de sucesos interconectados que tienen lugar uno después de otro, como cuentas ensartadas en un collar. La vida es, en realidad, una serie de encuentros, en los que un acontecimiento puede alterar los que lo suceden y de una manera totalmente impredecible, hasta devastadora.

PATRICIA LIBERTAD

Cuanta razón tienes. Y por eso la predicción del tiempo a largo plazo es imposible de hacer, a partir de los 10 días ya no es de fiar, y aún así… La predicción de los próximos días de mi móvil siempre está cambiando. Teniendo en cuenta esto, ¿cómo podemos predecir el clima dentro de 100 años?

CAMBIO CLIMÁTICO

PATRICIA LIBERTAD

Hasta ahora hemos hablado del tiempo meteorológico: queremos saber el estado de la atmósfera aquí y ahora. Cuando hablamos del clima nos referimos al estado promediado de la atmósfera a lo largo de treinta años. Es un sistema complejo ya que depende de la atmósfera, de la hidrosfera, de la litosfera, de la criosfera y de la biosfera. Y por supuesto dinámico: evoluciona con el tiempo. Siempre, con o sin nuestra ayuda. La predicción cualitativa del clima es imposible por eso tenemos que fijarnos en tendencias. Poniendo otra vez como ejemplo la mariposa de Lorentz. 

A largo plazo nos da igual cuál es la trayectoria en concreto que seguirá el clima. Bueno, no nos da igual, es que no podemos saberlo. Lo importante es ver cuál es la tendencia, la forma del atractor extraño, la mariposa en este caso. El atractor nos da una idea de cómo será el clima. Lo que debe preocuparnos es cómo afecta nuestro impacto a la forma de este atractor. Me explico.

Movernos dentro de la mariposa significa estar dentro de unos límites. [Simplificación dramática:] Quizá el ala derecha significa que llueve y la izquierda que no. Puede que estar más arriba signifique más calor y abajo un poco de frío… ¿Qué pasa si modificamos ese atractor y perdemos el ala derecha y la izquierda se levanta? 

No me quiero poner catastrofista, pero estamos modificando ese atractor y no tenemos ni idea de cuáles pueden ser las consecuencias a largo plazo.

EVOLUCIÓN

PATRICIA LIBERTAD

En fin, antes de irnos quiero darle voz a Stephen Jay Gould para que nos hable de nuestro lugar en el mundo…

STEPHEN

Me temo que el Homo sapiens es una “cosa tan pequeña” en un universo enorme, un acontecimiento evolutivo ferozmente improbable, claramente situado en el dominio de la contingencia.

PATRICIA LIBERTAD

¿Contigencia?

STEPHEN

Contingencia en la evolución, considerada ante todo como impredecibilidad.

PATRICIA LIBERTAD

Eso suena a sistema caótico, ¿verdad?

STEPHEN

¿Cómo podríamos saber, si rebobinamos la cinta de la vida hasta un pasado distante, qué grupos estaban destinados al éxito? Algunos encuentran esta perspectiva deprimente; yo siempre la he considerado estimulante, y fuente a la vez de libertad y de la consiguiente responsabilidad moral.

PATRICIA LIBERTAD

A pesar de la improbabilidad, estamos aquí y no podemos dejar de lado esa responsabilidad moral que tenemos con el futuro de nuestro planeta y de las criaturas que habitan en él. Aunque os digo una cosa, hagamos lo que hagamos, y estemos aquí o no para verlo…

IAN

La vida se abrirá camino.


REPARTO POR ORDEN DE APARICIÓN

Patricia Libertad: Patricia Libertad

Ian Malcolm, matemático:

  • Citas sacadas de Parque Jurásico

Edwad Lorentz, matemático y meteorólogo: 

  • Cita sacada de La mariposa y el tornado

Stephen Jay Gould, biólogo evolutivo: 

  • Citas sacadas de La vida maravillosa

ENLACE A LA CHARLA

Por si queréis verlo en vivo, os dejo por aquí el enlace, mi intervención comienza en el momento 1:10:12.

Como tapo los créditos del final, os los dejo por aquí:


ANEXO: CÓDIGO EN PYTHON DE LA MARIPOSA DE LORENTZ

Extraído de la wikipedia (https://es.wikipedia.org/wiki/Atractor_de_Lorenz) y modificado para la ocasión. (Lo siento, no sé si puedo poner el código con colorinchis.)


# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Aug 22 13:01:29 2020

@author: PatriciaLibertad
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

rho = 28.0
sigma = 10.0
beta = 8.0 / 3.0

fin=40.0
paso=0.001

def f(state, t):
   x, y, z = state  # Desempaqueta el vector de estado
   return sigma * (y - x), x * (rho - z) - y, x * y - beta * z  # Derivadas

state0_1 = [1.210345, 1.0, 1.0]
state0_2 = [1.21035, 1.0, 1.0]
state0_3 = [1.2103, 1.0, 1.0]
state0_4 = [1.210, 1.0, 1.0]

t = np.arange(0.0, fin, paso)

states_1 = odeint(f, state0_1, t)
states_2 = odeint(f, state0_2, t)
states_3 = odeint(f, state0_3, t)
states_4 = odeint(f, state0_4, t)

fig = plt.figure()
fig1 = plt.figure()
fig2 = plt.figure()
fig3 = plt.figure()
fig4 = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
ax1 = fig1.gca(projection='3d')
ax2 = fig2.gca(projection='3d')
ax3 = fig3.gca(projection='3d')
ax4 = fig4.gca(projection='3d')

ax.plot(states_1[:, 0], states_1[:, 1], states_1[:, 2])
ax1.plot(states_1[:, 0], states_1[:, 1], states_1[:, 2])
ax1.plot([1.210345,-11.04304705],[1.0,-16.4685738],[1.0,22.58193537],'o')
# primer punto: 1.210345, 1.0, 1.0
# ultimo punto: -11.04304705, -16.4685738, 22.58193537)
ax.plot(states_2[:, 0], states_2[:, 1], states_2[:, 2],'c')
ax2.plot(states_2[:, 0], states_2[:, 1], states_2[:, 2],'c')
ax2.plot([1.21035,1.88303919],[1.0,-5.3855072],[1.0,30.19843708],'o')
#primer punto: 1.21035, 1.0, 1.0
#ultimo punto: 1.88303919 -5.3855072  30.19843708
ax.plot(states_3[:, 0], states_3[:, 1], states_3[:, 2],'r')
ax3.plot(states_3[:, 0], states_3[:, 1], states_3[:, 2],'r')
ax3.plot([1.2103,-11.52039645],[1.0,-9.46896332],[1.0,33.07113095],'o')
# primer punto: 1.2103, 1.0, 1.0
# utimo punto: -11.52039645  -9.46896332  33.07113095
ax.plot(states_4[:, 0], states_4[:, 1], states_4[:, 2],'m')
ax4.plot(states_4[:, 0], states_4[:, 1], states_4[:, 2],'m')
ax4.plot([1.210,-17.37357194],[1.0,-13.98200844 ],[1.0,42.40540051],'o')
# primer punto: 1.210, 1.0, 1.0
# último punto: -17.37357194 -13.98200844  42.40540051

plt.show()

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